Pascal三角

夜里先来无事。老婆捧着电脑津津有味的过着电视剧的瘾，我独自一人坐在书房里，拿着铅笔在白纸上点着黑点儿，思考人生......无意间，想到了Pascal三角

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684126126843691

.................................

这东西看似杂乱，其实构成原理很简单：

1) 两个斜边都是一列1

2) 除了斜边以外的其他数字都是斜上方两个数字的加和

整个三角形由最开始的

1

11

开始，一级一级向下计算，无限展开，无穷无尽。

忽然，又想起二项展开式 (x + y)n 的系数可以表示为Pascal三角。头脑里居然闪出一个念头：二项展开式的系数和这个Pascal三角是赶巧相等还是有内在的联系呢？想来有必要算一算。
再说了，从小到大就一直是听人说：二项展开式的系数对应Pascal三角，但究竟是不是啊？不行，我必须要亲自算一算。

当 n = 0 时，展开式是 1，系数也就是1，这个好无聊啊。

当 n = 1 时，展开式是 x + y，系数是1 1，这个简单。

当 n = 2 时，展开式是 x2 + 2xy + y2，这个公式初中就学过。系数是1 2 1，这个没错。

当 n = 3 时，展开式不能再用口算了，老老实实用 x2 + 2xy + y2 乘上 x + y

得到x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3, 合并同类项得到 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3，系数果然是1 3 3 1，正确。

当 n = 4 时，继续乘上 x + y，妈呀，这次可多了：x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 + x3y + 3x2y2 + 3xy3 + y4

合并同类项得到 x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4，系数的确是1 4 6 4 1，还正确。

当 n = 5 时，这下更麻烦了吧？等等，我忽然问自己，虽然闲着也是闲着，但我也没有必要非跟自己过不去，继续闷头算下去吧？我有必要回头分析一下。

回头看看计算 n = 3 时的中间式的合并过程：x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3

x3的系数是1，x2y的系数是2+1，xy2的系数是1+2，y3的系数是1

再看看计算 n = 4 时的中间式的合并过程：x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 + x3y + 3x2y2 + 3xy3 + y4

x4的系数是1，x3y的系数是3+1，x2y2的系数是3+3，xy3的系数是1+3，y4的系数是1

上帝啊，看到这些系数的累加过程，我顿时醍醐灌顶。这不正是Pascal三角的计算过程吗？

索性，再算算 n = 5 的情况，x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 乘上 x + y

得到x5 + 4x4y + 6x3y2 + 4x2y3 + xy4 + x4y + 4x3y2 + 6x2y3 + 4xy4 + y5

合并同类项：x5的系数是1，x4y的系数是4+1，x3y2的系数是6+4，x2y3的系数是4+6，xy4的系数是1+4，y5的系数是1

得到：x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5，完美！！

坐下来，看到满纸的算式，想到Pascal三角的构成过程和二项展开式的计算过程居然惊人的相似，不由得感叹数学的博大精深和优美，同时又佩服数学家们在探索之路上的创造力和想象力。

我就这样坐着，看着纸上的Pascal三角：横着的各个数列，先是一列1，然后是单位1的等差数列，然后继续纵深的数列不断增加着离散度，优美
啊；再看看每一横行的对称结构，不仅对称而且两头还都是1......忽然有一种似曾相识的感觉，这种结构好像在哪里见过？一定在哪里见过——没错，就是
组合公式

C(n, r)= n! / ( r! * (n-r)! )

随意挑了几个，算了一下，我靠，还真靠谱儿！没想到啊没想到，组合公式居然是Pascal三角的通项公式。问题是：对吗？即便是对的话，为啥啊？怎么证明啊？

证明这个通项公式的正确性还是留着以后慢慢研究吧，已经大半夜了，我还是洗洗睡了吧